绳子，能量，和波动方程

这学期修了偏微分方程，在学到波动方程的时候对能量的定义产生了诸多疑问，所以想写下这篇文章来分享一下这个有趣的并对自己的学习做个总结 >_<。

故事的源头：绳子

假设绳子的长度为L。对其中长为 \Delta x ，质量为 \Delta m 的一小段绳子作受力分析，忽略重力的话，绳子只受到了两边的拉力 T_1和 T_2 。假设图中的 \alpha 和 \beta 比较小且那一小段绳子横向上的合力为0，那么 T \approx T_1cos(\alpha) \approx T_2cos(\beta)，其中 T 是一个常数。于是我们只需要关心纵向上的合力：

\Sigma F_y = T_1sin(\alpha) - T_2sin(\beta) = \Delta ma = \mu\Delta x\frac{^2y}{t^2} (1),

其中 a 是纵向的加速度， \mu 是密度。对(1)我们可以利用横向上合力为0的假设进行如下处理：

\frac{T_1sin(\alpha)}{T_1cos(\alpha)} - \frac{T_2sin(\beta)}{T_2cos(\beta)} = tan(\alpha) - tan(\beta) = \frac{\mu\Delta x}{T}\frac{^2y}{t^2} (2)。

又因为 -tan(\alpha) = \frac{y}{x}|^x ， -tan(\beta) = \frac{y}{x}|^{x+\Delta x}，所以我们可以得到：

\frac{1}{\Delta x}(\frac{y}{x}|^{x+\Delta x} - \frac{y}{x}|^x) =\frac{\mu}{T}\frac{^2y}{t^2} (3)。

最后，我们对 \Delta x 取极限，

\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{1}{\Delta x}(\frac{y}{x}|^{x+\Delta x} - \frac{y}{x}|^x)} \Rightarrow \frac{^2y}{x^2} = \frac{\mu}{T}\frac{^2y}{t^2}, \frac{^2y}{t^2} =c^2\frac{^2y}{x^2} (4),

（其中c=\sqrt{\frac{T}{\mu}}, c是一个常数）我们也就得到了著名的波动方程。

解的唯一性

假设有一个方程 u 满足以下条件：

u_{tt} = c^2u_{xx}, 0<x<l, 0<t<∞,\\ u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, u(x, 0)=0, u_t(x, 0)=0,

（这种问题叫做初值问题，因为我们知道 u 在 t=0 的时候的一些信息）则 u 必然为0，证明如下：

u_{tt}u_t = c^2u_{xx}u_t, u_{tt}u_t = \frac{1}{2}\frac{}{t}(u_t)^2\\ \int_{0}^{l}\frac{1}{2}\frac{}{t}(u_t)^2 dx = \int_{0}^{l}c^2u_{xx}u_tdx,\\ 分部积分： \int_{0}^{l}\frac{1}{2}\frac{}{t}(u_t)^2 dx = c^2(u_xu_t|^l_0-\int_{0}^{l}u_{xt}u_xdx)(5)。

利用边界条件，我们可以知道 u_t(l, t)=0, u_t(0, t)=0, 所以对于(5)我们可以做如下化简：

\int_{0}^{l}\frac{1}{2}\frac{}{t}(u_t)^2 dx = -c^2\int_{0}^{l}\frac{1}{2}\frac{}{t}(u_x)^2dx,\\ \frac{}{t}(\frac{1}{2}\int_{0}^{l}(u_t)^2+c^2(u_x)^2 dx)=0。

可以看到 \frac{1}{2}\int_{0}^{l}(u_t)^2+c^2(u_x)^2 dx 是一个与 t 相关但与 x 无关的式子，所以我们可以定义 E(t)=\frac{\mu}{2}\int_{0}^{l}(u_t)^2+c^2(u_x)^2 dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{l}[\mu(u_t)^2+T(u_x)^2] dx (6), 那么：

\frac{d}{dt}E(t) = 0, E(t) = C,

其中C是一个常数。利用初始条件我们得知， u_t(x, 0) = 0, u_x(x, 0) = 0, 所以

E(0) = 0=E(t),\\ \frac{1}{2}\int_{0}^{l}[\mu(u_t)^2+T(u_x)^2] dx = 0,\\ u_t =u_x=0, \Rightarrow u= 0。

这个结论可以被再次利用得出一般情形下，初值问题的解都是独特的。假设有两个函数 v 和 w 都满足以下条件：

u_{tt} = c^2u_{xx}, 0<x<l, 0<t<∞,\\ u(0, t) = g(t), u(l, t) = h(t), u(x, 0)=k(x), u_t(x, 0)=i(x)。

那么让 u=v-w ，可以观察到：

u(0, t) = v(0, t) - w(0, t) = g(t)-g(t)=0, \\ 同理，u(l, t) = 0, u(x, 0)=0, u_t(x, 0)=0,

所以 u=0=v-w, \Rightarrow v=w ，该初值问题的解是独特的。

能量

此前用来证明初值问题解的唯一性的方法叫做energy method（能量法），原因在于物理学家把 E(t) 叫做绳子的总机械能，把 \frac{1}{2}\int_{0}^{l}\mu(u_t)^2dx 叫做绳子的动能（KE），把 \frac{1}{2}\int_{0}^{l}T(u_x)^2 dx 叫做绳子的弹性势能（PE）。推导过程如下：

KE: \Sigma \frac{1}{2}\Delta mv^2 = \Sigma \frac{1}{2}\mu\Delta x(u_t)^2 \Rightarrow \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\Sigma \frac{1}{2}\mu\Delta x(u_t)^2} = \int_{0}^{l}\frac{1}{2}\mu(u_t)^2dx。

而要计算PE的话，我们首先要考虑那个原本长为 \Delta x 的一小段绳子在拉力作用下长度会增加多少。如果 \Delta s 是被拉伸后的总长度， \Delta u 为绳子两端的高度差，则： \Delta s -\Delta x = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta u)^2}-\Delta x=\sqrt{(\Delta x)^2(1+(\frac{\Delta u}{\Delta x})^2)}-\Delta x=\Delta x\sqrt{1+(\frac{\Delta u}{\Delta x})^2}-\Delta x,

利用泰勒展开可以把上式简化为：

\Delta x\sqrt{1+(\frac{\Delta u}{\Delta x})^2}-\Delta x \approx \Delta x(1+\frac{1}{2}(\frac{\Delta u}{\Delta x})^2)-\Delta x = \Delta x\frac{1}{2}(\frac{\Delta u}{\Delta x})^2,

每一小段绳子的PE约为 T\Delta x\frac{1}{2}(\frac{\Delta u}{\Delta x})^2 （假设绳子的拉力在做功的时候不变），所以总共的PE为：

PE: \Sigma T\Delta x\frac{1}{2}(\frac{\Delta u}{\Delta x})^2 \Rightarrow \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{1}{2}T\Delta x(\frac{\Delta u}{\Delta x})^2} = \int_{0}^{l}\frac{1}{2}T(u_x)^2dx。

嗯，推导过程看起来都没什么问题，但我最初困惑的地方在于，那个长为 \Delta x 的一小段绳子在不同高度的能量与简谐运动的能量图是不一样的（其实现在看来能量图不一样的原因很简单，那就是这一小段绳子在波的形成中并没有做简谐运动，它所受到的拉力并不与它的高度成正比，但我当时假设这种周期运动就是简谐运动）。它的总能量应该是 \frac{1}{2}(\mu(u_t)^2+T(u_x)^2)dx 。在它达到高度的最大值时，因为速度和斜率同时为0，所以KE和PE为0，总能量因此也是0。而在高度为0时，速度和斜率同时达到最大值，所以总能量也达到了最大值。能量会随着时间变化，这样的解释与我们对行波（travelling wave）的理解是相容的，因为行波会传播能量，所以并不违反能量守恒。

但当我们考虑驻波（standing wave）的时候就出现了矛盾的地方。驻波是由两个方向相反，频率相同，振幅相同的波通过干涉形成的，所以它们传播能量的方向也是不一样的，导致绳子上每一点的能量应该是守恒的而不会随时间变化，能量公式也就与我们的认知不符了。为此我特意去读了一篇相关的论文（Energy in one dimensional linear waves in a string），在这篇论文中提到了另外一种推导PE的方式：

让某一点在某一个时刻的位移为 u 。我们引入一个新的变量 \gamma ，且它的值在0到1之间。在等式(1)中，我们知道一小段绳子在位移为 \gamma u 时所受到的拉力为 \mu\Delta x\frac{^2(\gamma u)}{t^2} 。用 c^2\frac{^2u}{x^2} 来代替 \frac{^2u}{t^2} ，可以得到 \mu\Delta x\frac{^2(\gamma u)}{t^2}=\mu c^2\gamma\Delta x\frac{^2u}{x^2}=T\gamma \Delta x\frac{^2u}{x^2}，那么这一小段绳子从 \gamma u 到 (\gamma+\Delta \gamma)u 所做的功为 uT \Delta x\frac{^2u}{x^2}\gamma\Delta \gamma 。所以它从位移为0到 u 所做的功为：

\Sigma uT \Delta x\frac{^2u}{x^2}\gamma\Delta \gamma \Rightarrow \lim_{\Delta \gamma \rightarrow 0}{uT \Delta x\frac{^2u}{x^2}\gamma\Delta \gamma} = uT \Delta x\frac{^2u}{x^2}\int_{0}^{1}\gamma d\gamma = \frac{1}{2}Tuu_{xx} \Delta x,

把绳子上每一点的PE想加我们就能得到：

PE: -\Sigma \frac{1}{2}Tuu_{xx} \Delta x \Rightarrow \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{-\frac{1}{2}Tuu_{xx} \Delta x} = \int_{0}^{l}-\frac{1}{2}Tuu_{xx} dx,\\

加负号是因为势能的变化等于负功（但这个式子依旧是非负的，因为在周期运动中 u 如果是正的，它的二阶偏导就是负的； u 如果是负的，它的二阶偏导就是正的）。总能量就是 \int_{0}^{l}\frac{1}{2}\mu(u_t)^2-\frac{1}{2}Tuu_{xx} dx = \frac{1}{2}\mu\int_{0}^{l}[(u_t)^2-c^2uu_{xx}]dx(7)。

比较(6)和(7)，利用分部积分我们就能发现两者的差为：

\begin{align} \frac{1}{2}\mu\int_{0}^{l}[(u_t)^2-c^2uu_{xx}]dx-\frac{1}{2}\int_{0}^{l}[\mu(u_t)^2+T(u_x)^2] dx&= -\frac{1}{2}T\int_{0}^{l}uu_{xx} dx-\frac{1}{2}T\int_{0}^{l}(u_x)^2 dx\\ &=-\frac{1}{2}T(uu_x)|^l_0+\frac{1}{2}T\int_{0}^{l}(u_{x})^2 dx-\frac{1}{2}T\int_{0}^{l}(u_x)^2 dx\\ &=-\frac{1}{2}T(uu_x)|^l_0 \end{align}

所以只要两端都被是固定的（fixed end， u=0 ）或者两端都没有被固定的（free end， u_x=0 ），两个公式将会给出相同的值，但是用这两个不同的方法计算驻波上某一个点的能量时就会产生区别。考虑这么一个波： u=u_0sin(kx)sin(\omega t), \omega = kc。我们用两个能量公式计算某一个点的能量：

\begin{align} (6): dE &= \frac{1}{2}\mu[(u_t)^2+c^2(u_{x})^2]dx\\ &=\frac{1}{2}\mu u_0^2 \omega^2(sin^2(kx)cos^2(\omega t)+sin^2(\omega t)cos^2(kx))dx\\ &=\frac{1}{4}\mu u_0^2 \omega^2(1-cos(2kx)cos(2\omega t))dx \end{align}

\begin{align} (7): dE &= \frac{1}{2}\mu[(u_t)^2-c^2uu_{xx}]dx\\ &=\frac{1}{2}\mu\omega^2(sin^2(kx)cos^2(\omega t)+sin^2(kx)sin^2(\omega t))dx\\ &=\frac{1}{2}\mu\omega^2sin^2(kx)dx \end{align}

很明显用一个会随着时间变化而另一个不会。所以在考虑驻波的时候(7)或许是一个更好的公式。

一些瞎扯

写这篇文章的过程让我再一次深刻地意识到我或许并没有那么适合学习物理。知乎上有一句物理名言是这么说的：“好的物理学家做合理的近似，伟大的物理学家做不合理的近似“。一个有力而又漂亮的物理模型的诞生往往是需要一些近似和对现实世界的假设（这些东西在本文中就有出现），但这也就意味着模型始终是残缺的，是与现实世界有相矛盾的点的（比如说之前的能量公式(6)因为不考虑做功是绳子拉力的变化导致它无法很好地被用来解释驻波的能量）。在此之前我貌似并没有很好地意识到这一点，所以我往往会纠结于模型与现实之间的差异的起因，这大概就是高中时的我为什么物理学习的进度缓慢。现在的我貌似更能接受这种物理的模式，但依旧没有那么适应（但是我的大脑却非常适应大学里数学的思维模式，所以这个物理系叛徒我是要当定了hhh ）。

2022.5.26 写于美东某个小房间里