大物学习笔记（七）——波的能量

目录：

（若无说明，这里研究的都是平面简谐纵波在直棒中传播，也就是大物考试。其他情况下的公式可以用相同方法自行推导或则网上查询）

波动的过程是能量传播的过程

• 单个质元的机械能： ，在波动过程中，任一质元的动能和势能相等，且同相位变化。
• 新的物理概念：
• 应变：弹性介质中，质元沿纵波传播方向受到相邻质元的内力（拉力或压力）作用而相应地发生伸长或压缩形变，其形变量与质元原有长度之比。简单来讲波本身是一个质元带动下一个质元运动，然后这个质元在来自相邻的质元的力发生形变。这个形变量与原来的长度比值就是应变。
• 应力：物体受外力作用而发生形变时，其内部会产生内力，此内力与作用而的面积之比称为应力。如内力沿作用面的法线方向，则称相应的应力为正应力。简单来讲就是所受力除以这个力的作用面积
• 推导过程：我们先把弹性介质分成无穷多份，那么每一份的体积是 。本身弹性介质的密度可以是不均匀，但是我们分成很多小份之后就可以看作是均匀的介质。那么每一个质元的质量就是 。而每一点的运动方程是 ，对t求偏导得到 。那么每一点的动能就是 。

现在动能部分解决，就要来解决势能部分。这一个质元的应力就是 。它的应变就是 。而物体的应力与应变成正比，所以 （这里的 是上一次波速那里提到的扬氏模量）。又根据胡克定律，这个质元形变的方向是沿y轴，所以 。所以就可以求出 。所以弹性势能 。所以 。而又因为y对x求偏导 。而波速与杨氏模量之间有 。所以代入可得 。化简就可以得到

最后把势能和动能加起来 。从上面的推导我们也不难看出动能和势能是相等的。

• 波动的过程是能量传播的过程，每一个质元在上一个质元的带动下开始振动，上一个质元也就把它的能量传递给了下一个质元。所以波的本质就是能量的传递。就像你往水里面丢了一颗石子，石子在撞击水面的时候，部分机械能以水波的形式传递出去了，但是你产生的水波也就只有撞击时刻产生的。并不能你丢一块石头，在没有石头能量输入的时候那里还能永远不停歇地产生波。
• 与简谐振动的区别，简谐振动的动能和势能是交替变换的一个增加另外一个就会减少，而波的势能和动能是同增同减的。

波的能量

• 能量密度： 。单位体积的介质中波动的能量就是能量密度。（要注意这里的符号是小写的英文字母w，不是希腊字母Omega）
• 平均能量密度： （T是我们研究的直棒的长度）。把每个单位体积的能量加起来求平均值就行了。（如果不是直棒，就用dV来积分，如果密度不均衡还要对密度函数进行积分）
• 机械波的能量与振幅的平方、频率的平方以及介质的密度成正比。

• 能流： 单位时间内通过介质中某一面积的波动能量。
• 平均能流（波的功率）： （S是横截面积）。单位时间内垂直通过介质中某一面积的平均能量。单位：W（瓦特）
• 能流密度（波的强度）： 。垂直通过单位面积的平均能流。注意如果截取平面不与波的传递方向垂直，要考虑有效的投影面积是什么。单位 ： （单位面积的功率）。
• 当取矢量表达式的时候，方向与波速方向相同。

例题

1.试证明在均匀且无吸收的介质中传播的球面波，其振幅与它离开波源的距离成反比。

解：一个波没有被吸收，没有能量输入，那么它整体的功率是不变的。我们任取两个平面都有 。

又因为介质均匀，那么密度就是个常量。而波速又与介质有关，与波本身的状态无关，所以波速也是常量（这部分文字解题时可以省略，直接易知）。所以 。

因为是球体，所以 ， （这里解题也可以省略，不可能要考你球体表面积，我只是想提醒一下看清楚到底是球还是啥）

代入就可以得到 。所以振幅与它离开波源的距离成反比。

一下， 。人说话是球面波，所以声强随着距离增加是平方的衰减关系。

2.一球面波在各向同性均匀媒质中传播，已知波源的功率为100(J/s)，频率为100Hz，波长为0.24m，求：

（1）距波源5m处与10m处的波的强度；

（2）距波源5m处与10m处的波的平均能量密度；

（3）距波源5m处与10m处的振动振幅的比。

解：(1).

之前就讲了波的功率 。而 。

，

，

(2).

（觉得哪个算着顺手用哪个）

，

，

(3).

波的吸收

• 振幅的关系： （ 最初的振幅， 到波源的距离， 吸收系数满足 ）
• 波强（能流密度）的关系： 。
• 推导过程：在地球上大部分情况波在传递过程中都会被吸收，它的能量会不断减少。只要知道了 ，当前的振幅与距离和振幅的乘积成比例就行了。这就是个解微分方程的过程。 就是吸收系数， 越大肯定衰减的越快，越小衰减的越慢。

如果说电磁波最常见的就是可见光，那么机械波里面最常见的肯定就是声音。（这部分是了解内容，不是计算内容。）

声

• 分类：
• 声波：频率在20 Hz ~ 20 000 Hz波段的机械波。（能为人类听觉感知的频段）
• 超声波：频率高于20 000 Hz 的声波。
• 频率高，声强大
• 定向传播性能很好
• 遇障碍物时易形成反射
• 在水等一些介质中的衰减系数较小，穿透本领好
• 次声波：频率低于20 Hz 的声波。
• 频率低、波长甚长
• 衰减极小
• 声速：与温度、介质有关。

• 声压： （ 声速， ，称为体积速度）。某一时刻，在介质中的某处，有声波传播时的压强 与无声波传播时的压强 之差。
• 声压随空间位置和时间作周期性变化，并且与振动速度同相位。
• 声阻抗： ，声波在两种不同介质分界面上反射和折射时的能量分配由该两种介质的声阻抗来决定。
• 声阻抗较大的介质称为波密介质
• 声阻抗较小的介质称为波疏介质
• 声强： 。声波的能流密度。
• 声压的幅值（最大值）：
• 声压与声强之间的关系：
• 声强级： 。（ 是个常数，称为标准声强，大小 ）。
• 单位：B（贝），1B（贝）=10dB（分贝）
• 反映了人类对于声音强弱的主观感觉

波的叠加原理

• 波传播的独立性：当几列波在空间某相遇后，各列波仍将保持其原有的频率、波长、振动方向等特征继续沿原来的传播方向前进 。
• 波的叠加原理 ：各列波在相遇区域内，任一质元的振动是各列波单独存在时对该质元所引起振动的合振动。

波的干涉

• 干涉：两列波在空间相遇（叠加），以致在空间的某些地方振动始终加强，而在空间的另一些地方振动始终减弱或完全消失的现象。
• 干涉条件：两列波的频率相同，振动方向相同，有恒定的相位差。在光学里红光和紫光肯定不能干涉，他们频率不相同。再如果都是红光，沿x轴传播，一个沿y轴振动，一个沿着z轴振动，那么振动方向不相同，肯定也不能干涉。
• 相干波源：能产生相干波的波源。

• 计算：假设波源振动的方程分别为 ， 。

那么两列波传递到P点的时候，产生的振动分别是
和 。以S1为例，一个周期表现在角度上就是 ，在波的传递上就会前进 。那么走了 的距离，就是 个周期。最后拿到角度里面去就是P点的振动比S1点早 的相位，所以用减法。最后P点的振动方程就表现为了 。表现出一个恒定的振动方程，并不会随着波的传递而改变，就叫做干涉。这里的 ， 。具体推导过程见于简谐振动的合成。这一个点的能流密度就是 。

• 结论： 。
• ， 。则这个点的波是相互抵消为零（光学中的暗纹）。
• ， 。则这个点的波是最大的相互叠加（光学中的亮纹）。

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