[广义相对论基础]引力场的能量、动量和角动量

这一节来讨论一下引力场的能量、动量和角动量。我们将通过诺特定理出发，一步一步对引力场作能量、动量和角动量的定义。阅读这篇文章的话建议先有一个张量分析和前面广义相对论的基础。当然假如有涉及到之前的的话我也会把链接放上去的！所以我们开始吧。

1.能量的一般讨论

我们在初高中的时候都会遇见能量守恒，动量守恒和角动量守恒之类的东西（角动量可能是大学lol），而诺特定理告诉我们能量守恒是系统的时间平移对称性决定的，动量守恒是系统的空间平移对称性决定的，角动量守恒是系统的旋转对称性决定的。我们先暂且考虑能量。

首先一个问题，孤立系统一定能量守恒吗？或者说，孤立系统一定具有时间平移对称性吗？这个不一定的，比如宇宙的膨胀，宇宙算是一个孤立系统，她不具有时间平移对称性。考虑物质的能量的话，她也是不守恒的，因为宇宙在膨胀，考虑一个小的体积元她是有对外做功的，每个小体积元都对外做功，但也实际上没有对宇宙外面做功，做功在宇宙内部被消耗掉了，宇宙内部物质的能量密度就变小了，物质能量也就变小了，所以是不守恒的。

然后再考虑一个问题，就是，广义相对论里面对坐标的第0分量的变换

x^0\rightarrow x^0+\xi^0\\ 可不可以看作是时间平移不变性？答案是不行的，因为度规 g^{\mu\nu} 会变，而且这是规范对称性的一部分，根据诺特第二定理，这样求出来的是一个恒等于0的守恒量，没有意义。

所以我们发现，在引力场中定义能量不是一个简单的事情。有很多种定义方式。

所以应该怎么定义呢？

首先一种方式就是定义物质的能量 T^{00} ，这里 T^{\mu\nu} 是能动张量，不了解的话可以看看我之前的文章

我们知道能动张量在局域有协变守恒

\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0\\ 这个描述的就是物质能量和引力场能量之间的交换（把协变散度打开就可以看到一个普通微分项和一个联络项，其实联络项就代表着引力场，这就是这两个之间的转换）。注意，整体上物质能量不一定守恒，例子就是刚刚说到的宇宙膨胀。

对于引力的能量，我们在几种不同的情况会有不同的定义方式。比如在稳态的情况下，也就是 \partial_t g_{\mu\nu}=0 的情况（度规不随时间变化）。还有渐近平坦的情况，也就是 g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu} 的情况（ h_{\mu\nu} 比较小，也就是距离物质分布很远的情况下）。

我们后面就讨论这种渐近平坦的情况，这种情况下也是有渐近时间平移对称性的，所以可以写出能量守恒的形式。

2.渐近平坦空间下的引力能

我们给出

g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}\\ 并且 h_{\mu\nu} 在无限远处为0，但注意这里不是表示 h_{\mu\nu} 处处都很小。

我们对在 h_{\mu\nu} 较小时，也就是渐近平坦时，进行分析，把Ricci张量展开成线性部分（也就是这里的一阶小）和非线性部分，我们可以把线性部分写作

R^{(1)}_{\mu\kappa}\equiv\frac{1}{2}(\frac{\partial^2 h^\lambda_\lambda}{\partial x^\mu \partial x ^\kappa}-\frac{\partial^2 h^\lambda_\mu}{\partial x^\lambda \partial x ^\kappa}-\frac{\partial^2 h^\lambda_\kappa}{\partial x^\lambda\partial x ^\mu}+\frac{\partial^2 h_{\mu\kappa}}{\partial x^\lambda \partial x _\lambda})\\ PS：这里不了解Ricci张量的话可以看看这个传送门

非线性部分就是标准的Ricci曲率张量减去这部分啦。于是我们就可以把爱因斯坦场方程进行改写，把线性项都丢到其中一边，把非线性项和能动张量塞一块儿，也就是

R^{(1)}_{\mu\kappa}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\kappa}R^{(1)\lambda}_{\lambda}=-8\pi G[T_{\mu\kappa}+t_{\mu\kappa}]\\ 其中 t_{\mu\kappa} 是Ricci曲率张量的非线性部分组成的，写作

t_{\mu\kappa}=\frac{1}{8\pi G}[R_{\mu\kappa}-\frac{1}{2}g_{\mu\kappa}R^\lambda_\lambda-R^{(1)}_{\mu\kappa}+\frac{1}{2}\eta_{\mu\kappa} R^{(1)\lambda}_\lambda]\\ 我们就可以把引力场的总的能动张量写成

\tau^{\nu\lambda}\equiv\eta^{\nu\mu}\eta^{\lambda\kappa}[T_{\mu\kappa}+t_{\mu\kappa}]\\ 注意这不是一个广义相对论的协变的张量，只是一个洛伦兹意义下协变的张量。我们也只能得到这样的张量，因为假如是广义相对论意义下协变的话，那么又变成了一个没有意义的守恒量了。

根据线性化的Bianchi恒等式，我们可以得到

\frac{\partial}{\partial x^\nu}[R^{(1)\nu\lambda}-\frac{1}{2}\eta^{\nu\lambda} R^{(1)\mu}_\mu]\equiv0\\ PS：Bianchi恒等式的传送门

（也是这篇文章）

所以也就自然得到了右边我们定义的引力场的能动张量是局部普通守恒的（注意这里已经不是协变守恒了）

\frac{\partial}{\partial x^\nu}\tau^{\nu\lambda}=0\\ 所以我们得到了引力场的守恒量，也就是普通守恒，在渐近平坦的空间下！

3.渐近平坦空间下的动量

我们刚才得到了在局部下守恒的渐近平坦下的引力能表达式，我们现在从她身上获得更多的东西。首先对上面的守恒式进行分拆

\frac{\partial}{\partial x^0}\tau^{0\lambda}=-\frac{\partial}{\partial x^i}\tau^{i\lambda}\\ 然后对空间体积（三维体积元）积分

\frac{d}{d t}\int_V\tau^{0\lambda}d^3x=-\int_V\frac{\partial}{\partial x^i}\tau^{i\lambda}d^3x\\ 对式子右边应用高斯定理，可得

\frac{d}{d t}\int_V\tau^{0\lambda}d^3x=-\int_S\tau^{i\lambda}n_idS\\ 所以我们仿照四维动量的定义，定义出系统的能量-动量矢量（第0维是能量，第1，2，3维是动量）

P^\lambda\equiv\int_V\tau^{0\lambda}d^3x\\ 不论物质的还是引力的能量动量都包含在里面，然后 \tau^{i\lambda} 就是相应的流的密度。

3.渐近平坦空间下的角动量

同样我们发现，我们定义出来的总能动张量是对称的，也就是

\tau^{\nu\lambda}=\tau^{\lambda\nu}\\ 因此我们可以做个小小的构造

M^{\mu\nu\lambda}\equiv\tau^{\mu\lambda}x^\nu-\tau^{\mu\nu}x^\lambda\\ 可以得到守恒

\frac{\partial}{\partial x^\mu}M^{\mu\nu\lambda}=0\\ 这里 M^{0\nu\lambda} 可以解释为总角动量的密度， M^{i\nu\lambda} 可以解释为总角动量的密度的流。

对她积分，可得

J^{\nu\lambda}\equiv\int d^3xM^{0\nu\lambda}=-J^{\lambda\nu}\\ 就是总角动量啦。

就酱~