大物学习笔记（四）——简谐运动的能量

目录：

振动的能量（弹簧振子）

• 公式： E=E_{K}+E_{p}=\frac{1}{2}kA^{2}
• E_{k}=\frac{1}{2}kA^{2}sin^{2}(\omega t + \varphi)
• E_{p}=\frac{1}{2}kA^{2}cos^{2}(\omega t + \varphi)
• 单位：J
• 推导过程：在上一篇文章里面就知道了简谐运动的公式满足x=Acos(\omega t + \varphi)。它的速度就是对t的一个求导，也就是v=\frac{dx}{dt}=-A\omega sin(\omega t + \varphi)。这一次，我们要来求他的能量，首先物体的能量肯定分为两部分，势能和动能。而高中我们就知道物体动能的公式 E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}mA^{2}\omega ^{2} sin^{2}(\omega t + \varphi) 。势能是 E_{p}=\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}cos^{2}(\omega t + \varphi) 。在上一篇文章的最后，我们就讲了旋转矢量法形象地展示了 k 与 \omega 之间的关系。所以我们可以把动能进一步写成 E_{k}=\frac{1}{2}kA^{2}sin^{2}(\omega t + \varphi) 。所以就可以得到物体的总能量也就是动能与势能的和 E=E_{K}+E_{p}=\frac{1}{2}kA^{2}\left[ sin^{2}(\omega t + \varphi) +cos^{2}(\omega t + \varphi) \right]=\frac{1}{2}kA^{2}
• 演示图：