波动方程|能量方法

我们在求解波动方程之后，还需要验证其解的适定性，很重要的任务就是要给出解的唯一性和稳定性。我们将会看到，能量不等式可以对这个问题给出完满的回答。本文给出波动方程的能量估计。

物理背景

振动问题的总能量有动能和位能两部分。动能可以记为

E_k=\frac{1}{2}\iint_{\Omega} \rho u_t^2 \mathrm{d}\omega \\

外力作用下薄膜的位能可以记为

V=\iint_\Omega \{\frac{T}{2}[|\nabla u|^2-Fu\} \mathrm{d}\omega \\

考虑总能量

E=E_k+V=\frac{1}{2} \iint_{\Omega} \{\rho u_t^2 + T|\nabla u|^2-2Fu \} \mathrm{d}\omega\\

略掉一个正常数倍数，改变一下记号，就得到

\boxed{E=\iint_\Omega (u_t^2+a^2|\nabla u|^2-ku)\mathrm{d}\omega} \\

在不受力的自由振动情形下， k=0 ，就有能量

\boxed{E(t)=\iint_\Omega (u_t^2+a^2|\nabla u|^2) \mathrm{d}\omega} \\

我们知道，能量是不会凭空增加的，自然期望“能量守恒”。这是最典型的一类“能量积分”，但具体问题是复杂多变的，根据不同的初边值条件，我们需要构造各种各样的“能量积分”。

提纲

笔者觉得此处有一个提纲可以更好地传达旨要，物理学为我们提供了“能量”的重要概念，我们看看利用能量守恒、能量估计式、局部能量能够解决波动方程求解理论中的哪些问题。

齐次波动方程：唯一性

下面几项研究的都是不受力的自由振动情形，用到的都是总能量守恒。

• （第一、二类初边值问题） E(t)=\iint_\Omega (u_t^2+a^2|\nabla u|^2) \mathrm{d}\omega 在第一类、第二类边值条件下都守恒，因而两种初边值问题的解都具有唯一性。
• （第三类初边值问题） E(t)=\iint_{\Omega} (u_t^2+a^2\Delta u) \mathrm{d}\omega +a^2 \int_{\partial \Omega} \sigma u^2 \mathrm{d}s 第三类边值条件下守恒，因而初边值问题的解具有唯一性。
• （初值问题） E_1(\Omega_t)=\iint_{\Omega_t} (u_t^2+a^2|\nabla u|^2) \mathrm{d}\omega 关于 t 不增，因而初值问题的解具有唯一性。

齐次波动方程：稳定性

下面几项研究的都是不受力的自由振动情形，用到的都是平方模估计。

• （第一类初边值问题） E_0(t)=\iint_{\Omega}u^2 \mathrm{d}\omega 在 0 \leq t \leq T 时有估计式 E_0(t) \leq C(T)E(0) ，因而第一类初边值问题的解具有稳定性。
• （初值问题） E_0(\Omega_t)=\iint_{\Omega_t} u^2 \mathrm{d} \omega 在 0 \leq t \leq \frac{R}{a} 时满足估计式 E_1(\Omega_t)+E_0(\Omega_t) \leq C(E_1(\Omega_0)+E_0(\Omega_0)) ，因而初值问题的解具有稳定性。

非齐次波动方程：唯一性

在有外力干扰的情形下的波动，用到的都是总能量守恒。

非齐次波动方程：稳定性

下面几项研究的都是不受力的自由振动情形，用到的都是平方模估计。

齐次初边值问题：能量守恒

下面我们将说明三类初边值问题在不受力的自由振动情形都是守恒的，由此可以得到初边值问题解的唯一性。

第一边值条件

我们考虑不受力的自由振动情形， u_{tt}=a^2\Delta u ，并有

E(t)=\iint_\Omega (u_t^2+a^2|\nabla u|^2) \mathrm{d}\omega \\

考虑齐次边界条件 u|_{\partial \Omega} =0 ，我们对上式求导有

d_t E(t)=2\iint_\Omega (u_tu_{tt}+a^2\partial_t|\nabla u|^2) \mathrm{d}\omega \\

我们进一步针对性地计算

d_t|\nabla u|^2 = \sum_{i=1}^n \partial_t (u_{x_i}^2)= 2\sum_{i=1}^n u_{x_i}u_{x_it} \\

代入到原式就有

d_t E(t)=2\iint_\Omega (u_tu_{tt}+a^2\sum_{i=1}^n u_{x_i}u_{x_it}) \mathrm{d}\omega\\

注意到导数之间的关系（“分部积分法”）

u_{x_i}u_{x_it}=u_{x_i}(u_{t})_{x_i}=(u_tu_{x_i})_{x_i}-u_{x_ix_i}u_t \\

代入替换就有

d_t E(t)=2\iint_\Omega \underbrace{u_t(u_{tt}-a^2\Delta u)}_{=0}\mathrm{d}\omega + 2a^2\iint_\Omega\sum_{i=1}^n (u_tu_{x_i})_{x_i} \mathrm{d}\omega\\

注意到左边的部分正是齐次方程，消去这项就有：

d_t E(t)=2a^2\iint_\Omega\sum_{i=1}^n (u_tu_{x_i})_{x_i} \mathrm{d}\omega \\

利用Green公式，有

\iint_\Omega\sum_{i=1}^n (u_tu_{x_i})_{x_i} \mathrm{d}\omega=\underbrace{ \int_{\partial\Omega} \sum_{i=1}^n u_tu_{x_i} \cos(\bold{n},x_i)\mathrm{d}\sigma =0}_{u|_{\partial\Omega}=0 \Rightarrow u_t|_{\partial\Omega}=0}\\

这就证明了 d_t E(t)=0 ，从而 E(t) \equiv \text{const.} 。

一个直接的推论便是： 波动方程初边值问题的第一边值问题的解是唯一的。

第二边值条件

直接照抄上面的过程就能得到 u_t|_{\partial \Omega} =0 时 E(t) \equiv \text{const.} 。

一个直接的推论便是： 波动方程初边值问题的第二边值问题的解是唯一的。

第三边值条件

考虑波动方程的第三类边值条件：

(\frac{\partial u}{\partial \bold{n}}+\sigma u)|_{\partial \Omega} =0 \\

受此影响，我们需要把能量积分稍作变换，研究新的“能量”

\boxed{E(t)=\iint_{\Omega} (u_t^2+a^2\Delta u) \mathrm{d}\omega +a^2 \int_{\partial \Omega} \sigma u^2 \mathrm{d}s} \\

我们说明 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E(t)=0 。完全照抄前面的过程，我们得到

\begin{array}{} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iint_{\Omega} (u_t^2+a^2\Delta u) \mathrm{d}\omega &=2a^2\iint_\Omega\sum_{i=1}^n (u_tu_{x_i})_{x_i} \mathrm{d}\omega \\ &=2a^2 \int_{\partial \Omega} \sum_{i=1}^n u_tu_{x_i} \cos(\bold{n},x_i)\mathrm{d}s \end{array}\\

并注意后一项

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\partial \Omega} \sigma u^2 \mathrm{d}s=2\sigma \int_{\partial \Omega} uu_t \mathrm{d}s \\

加和就有

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E(t)=2a^2\int_{\partial \Omega}u_t(\frac{\partial u}{\partial \bold{n}}+\sigma u) \mathrm{d}s=0\\

一个直接的推论便是： 波动方程初边值问题的第三边值问题的解是唯一的。

齐次初边值问题：能量估计

下面我们探讨齐次初边值问题的平方模估计。

平方模估计：第一类齐次边值条件

记 \boxed{E_0(t)=\iint_{\Omega}u^2 \mathrm{d}\omega} ，对 t 求导得到

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E_0(t)=2\iint_{\Omega_t} uu_t \mathrm{d} \omega \leq \iint_{\Omega_t} u^2 \mathrm{d} \omega+\iint_{\Omega_t} u_t^2 \mathrm{d} \omega \\

进而直接估计得到 \boxed{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E_0(t) \leq E_0(t)+E(t)} 。

用 e^{-t} 乘上式两端，从0到t积分，就有

E_0(t) \leq e^tE(0)+e^t \int_0^t e^{-\tau}E(\tau)\mathrm{d}\tau \\

这里须注意在此情形下 E(\tau) \equiv E(0) 为常值，则

E_0(t) \leq E(0)(2e^t-1) \\

那么，在 0 \leq t \leq T 上有估计 \boxed{E_0(t) \leq C(T)E(0)} 。

一个直接的推论便是： 波动方程初边值问题的第一类齐次边值条件的解是稳定的。

齐次初值问题

现考察波动方程的初值问题，我们肯定设法计算它在全平面上的能量，但这个积分未必是收敛的，所以可行的替代方案应该是计算某个有限区域上的能量。我们选取一个积分区域，由于能量会在区域的边界上流进流出，其总量未必守恒，对于其可能的变化我也说不了什么。现要问：

怎么能够选取一个区域，使得初始状态的能量就被“局限”在这一个区域内呢？

影响区域与决定区域

我们去思考另一个问题：

对于给定的一定点，它在初始状态的振动经过 t 时间，会影响哪些点的振动情况？

这样问是自然的，因为如果能够发生能量的传递或改变，那么直觉上后者作为能量传递到的点，运动状态应该受到前者的影响，而在数学中显示出变化来。d'Alembert公式、Poisson公式都给我们指出， t=0 平面上一点 (x_1^0,\cdots,x_n^0,0) 的影响区域是锥面

(x_1-x_1^0)^2+\cdots+(x_n-x_n^0)^2 =a^2t^2 \\

反之，我们也可以反推点 M=(x_1^\circ,\cdots,x_n^\circ,t) 的决定区域：

(x_1-x_1^\circ)^2+\cdots+(x_n-x_n^\circ)^2\leq a^2(t_0-t)^2 \\

它是一个从该点逆着时间轴的方向反向延伸的锥体。那么我们考虑点 M 的决定区域在各个时刻 t 的截面 \Omega_t 。

小范围的能量积分

我们先考虑不受力的自由振动情形， u_{tt}=a^2\Delta u ，我们研究下面的能量积分：

E_1(\Omega_t)=\iint_{\Omega_t} (u_t^2+a^2|\nabla u|^2) \mathrm{d}\omega \\

研究 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E_1(\Omega_t) ，我们希望看出它的符号。由于区域 \Omega_t 也在随着时间 t 变化，积分写成

\iint_{\mathbb{R}^n} (u_t^2+a^2|\nabla u|^2) \chi_{\Omega_t}\mathrm{d}\omega \\

把微分算子取进积分号，利用函数乘积的求导法则，得到

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E_1(\Omega_t)=2\iint_{\Omega_t} (u_t u_{tt}+a^2\nabla u \cdot \nabla u_t) \mathrm{d}\omega +\iint_{\mathbb{R}^n} (u_t^2+a^2|\nabla u|^2) (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\chi_{\Omega_t})\mathrm{d}\omega\\

这里需要我们考虑变化的区域，代入就得到

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E_1(\Omega_t)=2\iint_{\Omega_t} (u_t u_{tt}+a^2\nabla u \cdot \nabla u_t) \mathrm{d}\omega -a\int_{\Gamma_t} (u_t^2+a^2|\nabla u|^2)\mathrm{d}s\\

其中 \Gamma_t 是 \Omega_t 的边界。

分部积分法给出

\boxed{(u_tu_x)_x=u_{tx}u_x+u_tu_{xx}} \\

注意到

\nabla u \cdot \nabla u_t = u_{x_1}u_{x_1t}+\cdots+u_{x_n}u_{x_nt} \\

换成

\begin{array}{} \nabla u \cdot \nabla u_t &=[(u_tu_{x_1})_{x_1}-u_tu_{x_1x_1}]+\dots+[(u_tu_{x_n})_{x_n}-u_tu_{x_nx_n}] \\ &=[(u_tu_{x_1})_{x_1}+\dots+(u_tu_{x_n})_{x_n}]-u_t[u_{x_1x_1}+\dots+u_{x_nx_n}] \\ &=\text{div} (u_t \cdot \nabla u) - u_t \Delta u \\ \end{array} \\

代入 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E_1(\Omega_t) 的积分表达式得

\begin{array}{} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E_1(\Omega_t)&= 2\iint_{\Omega_t} (u_t u_{tt}) \mathrm{d}\omega +2a^2\iint_{\Omega_t}(\nabla u \cdot \nabla u_t) \mathrm{d}\omega -a\int_{\Gamma_t} (u_t^2+a^2|\nabla u|^2)\mathrm{d}s\\ &= 2\iint_{\Omega_t} (u_t u_{tt}) \mathrm{d}\omega +2a^2\iint_{\Omega_t}(\text{div} (u_t \cdot \nabla u) - u_t \Delta u) \mathrm{d}\omega -a\int_{\Gamma_t} (u_t^2+a^2|\nabla u|^2)\mathrm{d}s\\ &= 2\iint_{\Omega_t} u_t \boxed{(u_{tt}-a^2\Delta u)} \mathrm{d}\omega +2a^2 \iint_{\Omega_t}(\text{div} (u_t \cdot \nabla u) \mathrm{d}\omega -a \int_{\Gamma_t} (u_t^2+a^2|\nabla u|^2)\mathrm{d}s\\ &=2a^2 \iint_{\Omega_t}(\text{div} (u_t \cdot \nabla u) )\mathrm{d}\omega -a \int_{\Gamma_t} (u_t^2+a^2|\nabla u|^2)\mathrm{d}s\\ \end{array} \\

请读者注意 \iint_{\Omega_t}(\text{div} (u_t \cdot \nabla u) )\mathrm{d}\omega 是积分散度形式，可以运用Gauss散度定理：

\int_{\Omega_t} (\text{div} (u_t \cdot \nabla u) ) \mathrm{d}\omega = \int_{\Gamma_t} u_t(\nabla u \cdot \bold{n}) \mathrm{d} s =\int_{\Gamma_t} u_t \frac{\partial u}{\partial \bold{n}} \mathrm{d} s \\

其中 \frac{\partial u}{\partial \bold{n}} =\sum_{i=1}^n u_{x_i}\cos (n,x_i) ，代入就有

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E_1(\Omega_t) = 2a^2 \int_{\Gamma_t} u_t \frac{\partial u}{\partial \bold{n}} \mathrm{d} s -a \int_{\Gamma_t} (u_t^2+a^2|\nabla u|^2)\mathrm{d}s \\

注意 |\nabla u|^2 =\sum_{i=1}^n u_{x_i}^2 ，代入有

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E_1(\Omega_t) = -a( \int_{\Gamma_t} [(2au_t^2+a^2\sum_{i=1}^n u_{x_i}^2-\sum_{i=1}^n u_t u_{x_i}\cos (n,x_i))]\mathrm{d}s) \\

这里利用方向余弦的长度为1，把 u_t^2 拆开： u_t^2=\sum_{i=1}^n u_t^2 \cos^2 (n,x_i) ，代入配方得

\begin{array}{} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E_1(\Omega_t) &= -a(\int_{\Gamma_t} [(2a \sum_{i=1}^n u_t^2 \cos^2 (n,x_i)+\sum_{i=1}^n a^2u_{x_i}^2-\sum_{i=1}^n u_t u_{x_i}\cos (n,x_i))]\mathrm{d}s) \\ &=-a \int_{\Gamma_t}\sum_{i=1}^n (ax_i-u_t\cos (n,x_i))^2 \mathrm{d}s \leq 0 \\ \end{array} \\

这就得到了我们想要的。可以看出此时 \boxed{E_1(\Omega_t)\leq E_1(\Omega_0)} 。

一个直接的推论便是： 波动方程初值问题的解是唯一的。

平方模估计

引进积分

E_0(\Omega_t)=\iint_{\Omega_t} u^2 \mathrm{d} \omega \\

对 t 求导得到

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E_0(\Omega_t)=2\iint_{\Omega_t} uu_t \mathrm{d} \omega-a\int_{\Gamma_t} u^2 \mathrm{d} s \\

把负项抛掉，变大：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E_0(\Omega_t) \leq 2\iint_{\Omega_t} uu_t \mathrm{d} \omega \\

这里考虑基本不等式，有

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E_0(\Omega_t) \leq \iint_{\Omega_t} u^2 \mathrm{d} \omega +\iint_{\Omega_t} u_t^2 \mathrm{d} \omega=E_0(\Omega_t)+E_1(\Omega_t)\\

即： \boxed{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E_0(\Omega_t) \leq E_0(\Omega_t)+E_1(\Omega_t)} ，积之得

E_0(\Omega_t) \leq e^tE_0(\Omega_0)+\int_0^t e^{t-\tau} E_1(\Omega_\tau) \mathrm{d}\tau \\

进而，结合 E_1(\Omega_t)\leq E_1(\Omega_0) ，就知道对于 0 \leq t \leq \frac{R}{a} 成立

\boxed{E_1(\Omega_t)+E_0(\Omega_t) \leq C(E_1(\Omega_0)+E_0(\Omega_0))} \\

非齐次初边值问题

除了唯一性外，我们还需要研究解的稳定性，仅仅有能量守恒是不够的，我们还需要知道一些关于能量的不等式，也就是能量估计式。下面的估计式中，不再认为是自由振动，而考虑受迫振动。

总能量估计：第一类齐次边值条件

在这种情况下，如果依旧考虑

E(t)=\iint_\Omega (u_t^2+a^2|\nabla u|^2) \mathrm{d}\omega \\

作为我们的“能量”，也就是不把外力项加上去，利用上面的结论有

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E(t)=2\iint_{\Omega} u_tf \mathrm{d}\omega \leq \iint_{\Omega} u_t^2 \mathrm{d}\omega+ \iint_{\Omega} f^2 \mathrm{d}\omega\\

写成 L^2- 范数，也就有形式

E(t)=||u_t||_{L^2}^2+a^2||\nabla u||_{L^2}^2 \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E(t)=||u_t||_{L^2}^2+||f||_{L^2}^2 \\

易见 ||u_t||_{L^2}^2 \leq E(t) ，从而有 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E(t)\leq E(t)+||f||_{L^2}^2 ，两边乘 e^{-t} 积分得

\boxed{E(t) \leq e^t[E(0)+\int_0^t e^{-\tau} \iint_\Omega f^2 \mathrm{d}\omega \mathrm{d}\tau]} \\

那么对 0 \leq t \leq T ，有

E(t) \leq C_0(T) (E(0)+\int_0^T \iint_\Omega f^2 \mathrm{d}\omega \mathrm{d}t) \\

一个直接的推论便是： 波动方程初边值问题的第一类齐次边值条件的解是唯一的。

平方模估计：第一类齐次边值条件

记平方模估计

E_0(t)=\iint_\Omega u^2 \mathrm{d}\omega = ||u||_{L^2}^2 \\

对时间求导数，就得到

\boxed{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E_0(t) \leq E_0(t)+E(t)} \\

两边乘 e^{-t} 积分得

\boxed{E_0(t) \leq e^t (E_0(0)+\int_0^t e^{-\tau} E(\tau) \mathrm{d}\tau)} \\

如果和总能量估计放在一起用，那么对 0 \leq t \leq T ，有

E(t)+E_0(t) \leq C(T) (E(0)+E_0(0)+\int_0^T \iint_\Omega f^2 \mathrm{d}\omega \mathrm{d}t) \\

一个直接的推论便是： 波动方程初边值问题的第一类齐次边值条件的解是稳定的。