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CFD中的能量方程 - Good Luck To You!

能量方程

质量守恒、动量守恒、能量守恒分别为三大守恒定律。由这些守恒定律可以分别推导出连续性方程、动量方程以及能量方程。因此，在某些情况下，连续性方程可用于求解密度ρ，动量方程可用于求解动量ρU，能量方程可用于求解能量E或温度T。

能量守恒定义为绝热系统的总能量是一个常数，总能量不能凭空的产生和消失。能量的单位为：

在CFD中，通常用下述变量表示能量相关量：

比能：单位质量的总能量；
机械能：单位质量的动能；
比内能：单位质量的内能；
比焓：单位质量的焓；

上述变量单位均为：

其中比能为守恒变量。在无源项和沉降项的时候，比能其值不随时间变化。

1.1. 比能方程

比能由两方面构成，即机械能与比能之和。首先，定义机械能为K：

其中U为速度。单位质量的比内能定义为e。这样，比能E可表示为：

若考虑每单位质量比能的变化关系，则将到处拉格朗日框架下的能量守恒方程。在这里考虑欧拉框架。在欧拉框架下，每单位体积比能的时间变化率，即为每单位质量的比能变化率再乘以密度：

对于体积为dxdydz的流体微元，其比能的时间变化率为：

方程(4)构成欧拉框架下比能方程左边的部分。

接下来考虑能量方程右边的部分。正如之前所说的，流体微元能量的变化可能来自于：

自发产生的能量；
流入流出的能量；
做功产生消失的能量；

首先考虑内部产生的能量。定义

为比热源，其表示每单位时间、每单位质量的能量产生。那么流体微元的净比热源可表示为：

考虑流入流出的能量。热传导（热流具有方向性）对流体微元的加热为（热通量矢量定义为

依据傅里叶定律，q和温度T的关系为：

接下来考虑做功引起的能量变化。单位时间内做功的变化为功率。作用在流体微元上的力，对其做功的功率等于这个力乘以速度在此力作用方向上的分量。因此压力的功率为：

剪切力对流体微团做功的功率为：

重力矢量g以体积力的方式作用于流体微元，引起重力势能的变化。单位时间内，重力做功的功率为：

结合方程(4)、(5)、(6)、(8)、(9)、(10)有最终的比能方程：

其展开形式为：

其中：

从方程(11)左边可以看出其采用的是非守恒形式，且目前尚未封闭。

1.2. 比内能方程

方程(11)为严格的能量守恒方程。但是在CFD中通常的做法是抽离机械能（动能项）来获得一个比内能方程。首先有动量方程：

将动量方程中的每个速度分量方程乘以速度分量并加和有：

即：

将方程(11)中减去方程(16)有比内能方程：

可以看出，比内能方程中不含有体积力项。其守恒形式为：

若考虑马赫数较小的情况，或认为不可压缩，则pU=0。同时，若进一步忽略粘性力做功项τ:U有：

1.3. 温度方程

由比内能方程也可以转化为温度方程。温度和比内能的关系为：

进一步，

可以表示为：

将方程(20)代入到(31)，并假定恒定比热容有：

在马赫数较小的情况下，可以忽略压力做功项

也即认为不可压缩，

同时忽略粘性力做功项且假定无热源有：

1.4. 焓方程

对于可压缩流体，通常把总能量方程简化为焓方程。首先有比焓h以及总比焓h0的定义：

回到非守恒形式的方程(11)，调用连续性方程后有守恒形式的总能量方程：

把方程(24)代入到方程(26)中有守恒形式的比焓方程：

以及守恒形式的总比焓方程：

再一次的，总比焓方程尚未封闭。

1.5. 封闭

假设q=αeffe

q=αeffh，这样方程(26)、方程(27)、方程(18)则简化为（无热源r=0）：

其分别为比能方程、比焓方程以及比内能方程。其中的K通过方程(1)更新，且其中的速度项通过分离/耦合式算法求解，因此得以封闭。

比能方程、比焓方程以及比内能方程在求解的时候哪一个最优呢？目前从经验来看，传热、可压缩、化学反应求解器使用的主要为比能方程和比焓方程。并且，在低马赫数燃烧流中，(26)和方程(27)中的(τU)（粘性力做功）以及ρgU（重力做功）通常被忽略。一些文献表示，能量方程的选择在某些情况下是至关紧要的。比如在进行激波捕获计算的时候，求解总能量方程要比求解内能方程结果精确的多。因此在rhoCentralFoam中，则植入了粘性力做功，并且求解的为比能方程。

在不可压缩流动中，通常求解比内能方程。只要温度对流体的影响不是很重要，那么能量方程可以放在压力速度耦合之后进行求解。在这种情况下是一种单向耦合。同时，需要注意的是比内能方程实际上来源于动量方程。但是总能量方程以及焓方程却可以单独推导。在某些情况下求解比内能方程可能会带来一些问题。同时，对于不可压缩流体，能量的增加很少见，能量的耗散却比较明显。对于可压缩流，双方都比较重要。

Boussinesq假定

下面考虑传热领域的Boussinesq假定，而不是湍流以及本构方程领域的Boussinesq近似/假定。

在传热领域内，Boussinesq假定认为在流动中温度的变化是非常小的，因此对应的密度变化也非常小。所以在控制方程中，除了浮力项ρg，其他项的密度被认为是常数。Boussinesq假定使得方程的非线性特性降低。但由于Boussinesq假定的限定条件，也使得调用Boussinesq假定的求解器存在一定的限制。

在工程中，Boussinesq假定主要用于室温下的液体对流、建筑物对流、气相分散等。在温度变化比较大的情况下，不建议使用Boussinesq假定。Boussinesq假定认为流体的密度可以这样计算：

其中ρ表示流体的密度，ρref表示流体的参考密度，T表示流体的温度，Tref表示流体的参考温度，β表示流体的体膨胀系数。现考虑可压缩流体并附加重力的动量方程：

依据Boussinesq假定，认为浮力项外的密度为常数，因此提出ρ有：

对于连续性方程，同样的，如果认为密度为常数，有连续性方程：

把连续性方程(35)带入到动量方程(34)中有：

将方程(32)代入到(36)中：

令：

有：

方程(39)即为考虑Boussinesq假定的动量方程。可以看出调用Boussinesq假定的动量方程为不可压缩的。在调用Boussinesq假定的情况下，如果温差较低的情况下（如空气的15°温差内），误差将在1%以下。如果温差过大，调用Boussinesq假定可能会带来较大的误差。

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